Shinさんのおっしゃるように、終了処理がきちんと行えるかどうかがキモなのです。
例えるなら、シャワールームから出てきた人が「使用中」の札を「空室」に戻さなかったがゆえに
あとの人がいつまでもシャワーに入れない感じです。
今回の仕組みは社内で使うものではなく、一度納品したら完全にお客様先で独立して運用されるものなので、
使用中を空室に自由に変えられるとまずい（課金の仕組みそのものが崩壊する）のです。

最終的に解決したら改めてご報告しますが、紆余曲折を経たいま、ウインドウコントロール周りで壁に行き当たっています。

Shinさんの書き込みにある「アカウント管理へアクセスするための専用ウィンドウ」を隠した状態で
永遠にバックグラウンドにしまっておければよかったのですが、どうやらそれは無理みたいなので、
裏に隠してあるウインドウが引っ張り出されたとしても、どこをクリックしても再びウインドウを隠すスクリプトが
動くようにしました。

ウインドウに施した処置としては、

・検索での絞り込み（該当アカウントの1レコードのみ）
・最小限のメニューセットへの切り替え
・クローズボタン不可
・ツールバーの非表示

などですが、ウインドウ最下部の倍率表示の右横にあるツールバーの表示／非表示ボタンは無効にできないようで、
ツールバーが復活させられてしまった上にクイック検索のところをクリックされるとレコード確定状態になってしまう、
というのが今突き当たっている壁です。

ここさえ乗り越えられればおそらく完成なのですが、お知恵拝借できませんでしょうか。

Travellerさん、ご回答ありがとうございました。
しかし、Travellerさんのおっしゃるように、管理者権限を持つ人の神の手が
必要になってしまうんです。

ただ、Get(システム IP アドレス）ではなくGet(デスクトップパス）で端末を判定するのは
参考になりました。これだとDHCPを導入しているところでも使えるかもしれません。