2か月以上前のことですので、すでに方向性を変えてしまったのかもしれませんが、windowsマシンで、レンタルサーバーのMySQLとローカルのfilemakerのデータソースとの同期ができましたので、簡単に記載させていただきます。

やることは主に4つです。
1.ODBCドライバーのインストール

2.MySQL Connector/ODBC のインストール
https://dev.mysql.com/downloads/connector/odbc/からダウンロードし、インストール

3.DSNの設定
コントロールパネルの管理ツール→ODBCデータソースを選択し、システムDSNから「追加」MySQL ODBC 5.3 Unicode Driverを選択。
サーバーのIPアドレスとデータベースのユーザー名、パスワードを入力し、testで接続を確認。

4.レンタルサーバーとのSSH接続
サーバーによってできないサーバーもあると思いますが、私の場合は、mixhostでうまく行っています。
リモートMySQLでアクセスできるホストを追加し、SSHアクセスで、SSHキーのダウンロードし、teratermでサーバーにSSH接続。

teratermでのSSH接続がうまく行けば、teratermの画面をそのままにして、filemakerで、テーブルオカレンス画面でテーブルを追加。その際に接続がうまく行っていれば、テーブルソースにサーバー上のデータベースが出てきます。